push も press も「押す」という意味です。
たぶん push の方がよく見かけるような気がしますけれど、まずは英英辞典を見てみましょう。
[push]
to make someone or something move by pressing them with your hands, arms etc
【ロングマン英英辞典 より】
When you push something, you use force to make it move away from you or away from its previous position.
【コウビルド英英辞典 より】
ロングマン英英辞典では press することによって・・・と出てきました。ますますわからなくなりますね（笑）。
では、press の方は？
[press]
to push something firmly against a surface
【ロングマン英英辞典 より】
If you press something somewhere, you push it firmly against something else.
【コウビルド英英辞典 より】
こらっ（笑）＞ロングマン英英辞典
しかし、明らかに違うのは push の説明文に move という言葉が入っていることです。
動かす・・・もっと言えば移動させる。
これが push です。
となると、電話とかエレベーターのボタンを押すのは push ではなく、press の方がよさそうな気がします。
押した後、ボタンは戻ってきますからね。
試しに button を見てみましょう。
[button]
a small part or area of a machine that you press to make it do something
【ロングマン英英辞典 より】
A button is a small object on a machine or electrical device that you press in order to operate it.
【コウビルド英英辞典 より】
ほっ（笑）。
どちらも press で説明されていました。
といいつつ、それほど厳密なことでもないような気がします。
なんとなく push でカバーできる範囲の方が広いような気がしますが、指先で押すくらいのボタンだったら press でいいかなぁという程度かもしれません。
逆に、大きな荷物を押して動かす・・・昔「倉庫番」っていうパズルがありましたが（ふるっ）、そういう場合は push ですね。
